Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917-го года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона

Двумерное преобразование Радона.
В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x,y) вдоль прямой AA^'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть ${\displaystyle f(x,y)}$ функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции ${\displaystyle f(x,y)}$ называется функция

${\displaystyle R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )dz}$ (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору ${\displaystyle {\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$ и проходящей на расстоянии ${\displaystyle s}$ (измеренного вдоль вектора ${\displaystyle {\vec {n}}}$, с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции ${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy}$ (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору ${\displaystyle {\vec {k}}=(k_{x},k_{y})}$, и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим ${\displaystyle {\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$, мы выберем новые переменные ${\displaystyle s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,}$ ${\displaystyle z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha }$. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

${\displaystyle F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds}$

т.е.

${\displaystyle F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds}$ (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции ${\displaystyle f(x,y)}$ есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции ${\displaystyle f(x,y)}$. Поскольку преобразование Фурье функции ${\displaystyle f(x,y)}$ существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции ${\displaystyle F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )}$. Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.}$

Для наших целей удобно переписать эту формулу в полярных координатах

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega }$,

что, учитывая (3), немедленно даёт формулу обратного преобразования Радона

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha }$ (4),

где ${\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds}$.

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции ${\displaystyle f(x,y)}$ из её проекций ${\displaystyle R(s,\alpha _{i})}$, называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке ${\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})}$ двумерный спектр ${\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )}$ (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от ${\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )}$. Существуют и другие методы реконструкции ${\displaystyle f(x,y)}$ из ${\displaystyle R(s,\alpha )}$

Теорема о центральном сечении

Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от ${\displaystyle f(x,y)}$:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=}$ ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds}$

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=}$ ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha ))ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy}$

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции ${\displaystyle R(s,\alpha )}$ представляет собой спектр функции ${\displaystyle f(x,y)}$ вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом ${\displaystyle \alpha +\pi /2}$. Таким образом Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции ${\displaystyle f(x,y)}$. В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования Радона

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна ${\displaystyle \exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\}}$, где ${\displaystyle \rho (x,y)}$ показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой ${\displaystyle AA'}$ проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показаной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

${\displaystyle R(s,{\vec {n}})=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{\vec {r}}}$ (2)

Здесь мы обозначили ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y)}$ — радиус-вектор из начала координат, ${\displaystyle d{\vec {r}}=dxdy}$ — двумерный элемент объёма, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор, который можно параметризовать как ${\displaystyle {\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$. С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) тривиально обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под ${\displaystyle {\vec {r}}}$, ${\displaystyle dV}$ и ${\displaystyle {\vec {n}}}$ понимать соответственно ${\displaystyle N}$-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в ${\displaystyle N}$-мерном пространстве и ${\displaystyle N}$-мерный единичный вектор. В принципе, вектор ${\displaystyle {\vec {n}}}$ можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация ${\displaystyle {\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )}$.

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору ${\displaystyle {\vec {n}}}$ и проходящей на расстоянии ${\displaystyle s}$ от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором ${\displaystyle {\vec {n}}}$).

Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Покажем это.

Рассмотрим преобразование Фурье от ${\displaystyle R(s,{\vec {n}})}$ по переменной ${\displaystyle s}$, то есть

${\displaystyle \int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds}$.

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим

${\displaystyle \int R(s,{\vec {n}})e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r}})e^{-i{\vec {r}}{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}}$.

Заметим теперь, что ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n}}}$ есть интеграл по всему ${\displaystyle N}$-мерному пространству (здесь под интегралом ${\displaystyle \int d{\vec {n}}}$ подразумевается интеграл по ${\displaystyle (N-1)}$-мерной сфере, в частности, для ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle \int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha }$, для ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle \int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta }$). Из этого следует, что

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')}$.

Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения

${\displaystyle f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R(s,{\vec {n}})}$.

См. также

• Формула Крофтона

См. также

• Преобразование Хафа