Интегральное преобразование Абеля

Интегральное преобразование Абеля — преобразование, часто используемое при анализе сферически или цилиндрически симметричных функций. Названо в честь норвежского математика Н. Х. Абеля. Для функции ${\displaystyle f(r)}$ преобразование Абеля даётся уравнением:

${\displaystyle F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Если функция ${\displaystyle f(r)}$ спадает с ${\displaystyle r}$ быстрее чем ${\displaystyle 1/r}$, то можно вычислить обратное преобразование Абеля:

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

В обработке изображений преобразование Абеля используется для того, чтобы получить проекцию симметричной, оптически тонкой функции испускания на плоскость. Обратное преобразование используется для восстановления функции по её проекции (напр. фотографии).

Геометрическая интерпретация преобразования Абеля в двумерном случае. Наблюдатель (I) смотрит вдоль линии, параллельной оси ${\displaystyle \scriptstyle {x}}$ на расстоянии ${\displaystyle \scriptstyle {y}}$ от центра. Наблюдатель видит проекцию (интеграл) осе-симметричной функции ${\displaystyle \scriptstyle {f(r)}}$ вдоль направления наблюдения. Функция ${\displaystyle \scriptstyle {f(r)}}$ изображена при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится так далеко от центра, что пределы интегрирования равны ${\displaystyle \scriptstyle {\pm \infty }}$.

Геометрическая интерпретация

Преобразование Абеля в двумерном случае ${\displaystyle F(y)}$ может рассматриваться как проекция осесимметричной функции ${\displaystyle f(r)}$ вдоль параллельных линий, проходящих на расстоянии ${\displaystyle y}$ от оси. Согласно рисунку справа, наблюдатель (I) увидит величину

${\displaystyle F(y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx,}$

где ${\displaystyle f(r)}$ — осесимметричная функция, изображенная на рисунке при помощи серого цвета. Предполагается, что наблюдатель находится при ${\displaystyle x=\infty }$ и таким образом пределы интегрирования равны ${\displaystyle \pm \infty }$. Все линии наблюдения параллельны оси ${\displaystyle x}$.

Замечая, что радиус ${\displaystyle r}$ соотносится с ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ как ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, получаем, что

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Так как переменная ${\displaystyle r}$ при интегрировании не меняет знака, то подынтегральное выражение (как ${\displaystyle f(r)}$, так и выражение для ${\displaystyle dx}$) является чётной функцией. Поэтому можно записать:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(r)\,dx.}$

Замена переменной ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle r}$ даёт формулу преобразования Абеля:

${\displaystyle F(y)=2\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

Преобразование Абеля можно обобщить на случай большего числа измерений. Особенно интересен случай трёх измерений. В случае осесимметричной функции ${\displaystyle f(\rho ,\;z)}$, где ${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$ является радиусом в цилиндрических координатах, можно спроектировать функцию на плоскость, параллельную оси ${\displaystyle z}$. Без потери общности можно взять плоскость, параллельную плоскости ${\displaystyle yz}$. При этом:

${\displaystyle F(y,\;z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,\;z)\,dx=\int \limits _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,\;z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

что является преобразованием Абеля для ${\displaystyle f(\rho ,\;z)}$ в переменных ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle y}$.

Частным случаем осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае имеется функция ${\displaystyle f(r)}$, где ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проекция на плоскость ${\displaystyle yz}$ будет иметь круговую симметрию, которую можно записать как ${\displaystyle F(s)}$, где ${\displaystyle s^{2}=y^{2}+z^{2}}$. Производя интегрирование, получим:

${\displaystyle F(s)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=\int \limits _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

что опять является преобразованием Абеля для ${\displaystyle f(r)}$ в переменных ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$.

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Абеля является членом так называемого цикла Фурье — Хенкеля — Абеля. Например для случая двух измерений, если обозначить через ${\displaystyle A}$ преобразование Абеля, ${\displaystyle F}$ — преобразование Фурье и через ${\displaystyle H}$ — преобразование Ханкеля нулевого порядка, то для функций с круговой симметрией будет выполняться равенство:

${\displaystyle FA=H,}$

то есть если применить к одномерной функции сначала преобразование Абеля, а затем преобразование Фурье, то результат будет тот же, как после применения к функции преобразования Хенкеля.